Quantidades de opções de fx
Quantas opções de Fx
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Histórico de opções de FX.
Estou testando meu modelo e estou interessado em preços de opções em EUR | USD para janeiro de 2011.
A história pode ser até mesmo diária - mas eu nunca tive um acordo com opções de fx, assim eu não sei onde começar a procurar tal história.
Você poderia me aconselhar?
Se você está procurando por dados gratuitos, eu já ouvi essa pergunta várias vezes para professores de derivadas no final de uma aula. Eles responderam que na maioria das vezes passavam por seus escritórios para que pudessem fornecer dados importados do provedor de dados da universidade. Então, aparentemente, se até a academia tiver que fazer dessa maneira, ficaria surpreso se você encontrasse.
Este post também sugere o uso do Bloomberg, que também é o que eu sugeriria se você tivesse acesso a um terminal BB.
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Como quebrar uma opção de FX P & amp; L?
Estou comparando as avaliações de mark-to-market (MtM) de dois sistemas de risco, com relação a opções de câmbio.
Minha pergunta é que posso quantificar a diferença no MtM, dado o seguinte:
AUD / JPY, MTM = USD 461.000, Vol. Implícitas = 11,88%, Vega = USD 82.000, Taxa Forward = 97.29 e USD Delta = -15.300.000.
AUD / JPY, MTM = USD 406.000, Vol. Implícitas. = 12,14%, Vega = USD 77.000, Taxa Forward = 97,81 e USD Delta = -13.600.000.
Supondo que ambos os sistemas usem Black Scholes, como posso quantificar a diferença em MtM (em USD) que é de USD 55.000 atribuindo-a a:
Diferença na Volatilidade Implícita e; Diferença nas taxas a prazo?
Eu tentei fazer isso e ainda tenho uma pequena diferença - é possível quantificar isso também?
Alguma diferença residual é esperada devido a gama e outros gregos de ordem superior, e para avaliar premissas como mencionado acima. Além disso, você deve se certificar sobre o significado do delta expresso em USD para uma opção AUD / JPY; Não tenho certeza se isso é padrão em todos os sistemas. Poderia ser o valor em dólar do JPY manter como hedge tendo AUD como a moeda sem risco, ou o valor em dólar de AUD para manter como hedge tendo JPY como moeda sem risco, ou o valor de AUD ou JPY para segurar por uma cobertura combinada de movimentos de ambas as moedas contra USD. Também pode ser versões premium ou incluídas destes.
Você verificou que usa a mesma taxa de juros para AUD e JPY em ambos os sistemas? A diferença é bem grande. O modelo usado deve ser Garman-Kohlhagen, que é Black Scholes com duas taxas de juros. Em que moeda é o vega?
Brincando com o QuantLib.
Estatísticas do Blog.
Nenhuma postagem nova esta semana. Isto não é porque eu sou preguiçoso, mas achei que vale a pena resumir os resultados sobre preços aproximados de FX TaRF em um pequeno artigo. Vou escrever sobre isso aqui também, com ênfase no código QuantLib. Semana que vem. Cuidar.
No meu post anterior eu escrevi sobre algumas idéias para aproximar eficientemente o valor de um fx exótico (um fx tarf na verdade). Uma motivação principal é usar um preço tão rápido em uma simulação de XVA.
Este post é dedicado ao design que eu criei para encaixar a ideia da forma mais precisa possível na arquitetura QuantLib existente.
O próximo post, em seguida, apresentará detalhes sobre o esquema de aproximação em si, alguns exemplos numéricos comparando a aproximação com um preço total sob vários cenários de deterioração de mercado e tempo, e testes de desempenho.
Um bom design é de extrema importância. Mesmo em uma vizinhança próspera, uma janela quebrada, não rapidamente consertada, logo levará a uma segunda e, depois de um tempo, a uma área degenerada. Felizmente, Luigi não permitiria que isso acontecesse na cidade QuantLib, é claro.
Estes são os meus pensamentos sobre o design em geral:
devemos ter dois mecanismos de preços, um MC e um mecanismo Proxy. Não devemos ter apenas um mecanismo com alguns métodos adicionais para extrair os NPVs aproximados de forma proprietária, o mecanismo proxy deve se comportar como qualquer outro mecanismo, por exemplo, o decaimento do tempo deve consistentemente ser deduzido da data de avaliação global, não por meio de algum parâmetro especial, e os dados de mercado relevantes devem ser dados por estruturas padrão. A implementação de novos instrumentos e mecanismos de precificação seguindo a mesma idéia deve ser fácil e baseada em interface comum a interface do usuário final usada no código do cliente deve ser fácil de usar e à prova de falhas A simulação do XVA é uma aplicação do mecanismo de proxy, mas não há nenhuma conexão estrita com este caso de uso & # 8211; você também pode usar o mecanismo de proxy & # 8220; apenas & # 8221; para calcular npvs mais rapidamente se não for necessária alta precisão.
Ou resumindo: não deve haver nada de especial na coisa toda. Limite seu entusiasmo, apenas faça um trabalho sólido e simples, não tente impressionar ninguém. OK. Vamos começar com a classe de instrumentos.
O construtor leva.
a agenda da estrutura (ou seja, as datas dos valores), o índice fx subjacente representando, por exemplo, uma correção fx do BCE (esta é uma nova classe também, porque não parece ser um índice fx no QuantLib ainda, mas eu não entro em detalhes sobre isso aqui), o nominal da estrutura (em moeda estrangeira, ativo ou fonte, existem muitos nomes para isso) as contrapartes & # 8217; perfis de payoff, que normalmente são short puts e long calls, todos compartilhando o mesmo, atingem o nível alvo em que a estrutura derruba o tipo de cupom (veja o post anterior que eu fiz o link acima) a alavancagem dos dois lados do negócio.
Os dois últimos parâmetros accumulatedAmount e lastAmount são opcionais. Se não for fornecido, o FxTarf calcula a quantia já acumulada lendo as fixações históricas do índice.
Se especificado por outro lado, as fixações históricas são ignoradas e a quantidade acumulada é usada. A lastAmount neste contexto é necessária apenas no caso de a última correção já ter ocorrido, mas o pagamento associado ainda está no futuro. A razão para introduzir esses parâmetros um tanto redundantes é a seguinte. Por um lado, pode ser útil não definir todas as fixações históricas para o índice fx, mas definir diretamente o valor acumulado. Talvez você obtenha as informações da transação de algum sistema de origem e já forneça o valor acumulado atual juntamente com os dados da transação. Mais importante, durante uma simulação de XVA, talvez você não queira definir todas as fixações no IndexManager. Você pode fazer isso, se quiser, mas pode não ser útil, porque depois de cada caminho você tem que apagar todas as fixações novamente ou talvez você não simule cada data de conserto e apenas queira interpolar as fixações acumuladas. Em qualquer caso, é apenas um parâmetro de conveniência. Use ou simplesmente ignore.
Para um preço completo do tarf, podemos usar um motor monte carlo que é construído da maneira usual, por exemplo.
Os parâmetros aqui são o processo Black Scholes (generalizado), os intervalos de tempo para simular por ano, a semente para o RNG.
O último modificador. withProxy () é a única coisa especial aqui: Por padrão, o mecanismo calcula apenas um npv (e estimativa de erro) como qualquer outro mecanismo mc faz. Se o mecanismo for configurado com o sinalizador de proxy, por outro lado, informações adicionais durante a simulação serão coletadas e analisadas para produzir algum objeto de informações de proxy que possa ser usado posteriormente para os preços aproximados. Vamos ver em um minuto como.
Precisamos desse modificador porque a simulação fica mais lenta ao criar o proxy, portanto, poderemos desativá-lo.
Agora, configuramos o mecanismo e podemos calcular o npv (completo):
Se quisermos apenas o preço de proxy, podemos, claro, ignorar o cálculo completo do npv, mas isso não prejudica, pois o npv é sempre produzido, mesmo que seja apenas o cálculo das informações para o mecanismo de proxy.
Para usar o mecanismo de proxy, precisamos começar com um mecanismo que possa produzir essa informação. O mecanismo de proxy é então alimentado com o objeto proxy:
O mecanismo de proxy é construído com.
a descrição de proxy produzida pelo mecanismo mc, que pode ser recuperada do instrumento por. proxy () (este é um resultado especial, que parece importante o suficiente para não enterrá-lo no heap de resultados adicionais - isso não é nada inovador) , é como a taxa bps ou justa para swaps como exemplo) a cotação fx usada para o preço & # 8211; ou seja, os dados essenciais de mercado necessários para a precificação por procuração da curva de desconto para a precificação (que é tomada como a curva de taxa doméstica de nosso processo de black scholes em nosso exemplo de código de cliente)
Além disso, a data de avaliação global determinará a data de referência para a avaliação, como de costume.
Se o instrumento não fornecer um objeto proxy (por exemplo, porque o mecanismo mc foi informado, veja acima), ou se o objeto proxy não for adequado para o mecanismo proxy a ser construído, será lançada uma exceção.
O que está acontecendo nos bastidores: Eu adicionei uma interface para instrumentos que são capazes de definir preços de proxy:
O único método para implementar é o proxy, que deve retornar um objeto contendo as informações necessárias para um mecanismo de proxy compatível calcular os npvs aproximados (veja abaixo quais meios compatíveis). As informações em si devem ser um objeto derivado de ProxyInstrument :: ProxyDescription. Ele deve fornecer um método de validação que deve verificar os dados fornecidos quanto à consistência.
Como é o instrumento fx tarf implementado w. r.t. essa interface:
Isso diz que a informação de proxy específica (ou uma possível) de um fx tarf consiste em alguns dados descritivos, que é.
o número máximo de fixações abertas (futuras) a última data de pagamento da estrutura & # 8211; veja abaixo um balanceamento do valor acumulado.
que juntos definem uma segmentação para a função de aproximação. Em cada segmento, a função de aproximação é então dada por um Proxy :: ProxyFunction, que neste nível de abstração é apenas uma função arbitrária de Real para Real, retornando o npv para um determinado ponto de fx. O npv é expresso na base progressiva a partir da data do último pagamento da estrutura, de modo que o mecanismo de proxy pode descontar de volta desta última data de precificação possível para a data de avaliação. Lembre-se que isto é em geral (e tipicamente) diferente do usado para o preço do mc.
O método de validação verifica se a matriz de funções está preenchida de forma consistente com as informações de segmentação.
O objeto proxy faz parte da classe de resultados do instrumento, que está novamente usando apenas o formalismo padrão:
O mecanismo de proxy espera que um objeto proxy, que é verificado para ser um que seja útil para o mecanismo, esteja no construtor, usando um downcast dinâmico.
O terceiro nível de especialização está no mecanismo monte carlo, onde o tipo de função do objeto proxy específico é implementado, derivado das definições da classe FxTarf:
Neste local, finalmente fixamos a forma específica das funções de aproximação, que são essencialmente dadas por dois polinômios quadráticos. Vou dar mais detalhes e uma motivação para isso no próximo post.
Finalmente, pareceu útil derivar os motores mc e proxy de um mecanismo de base comum, que lida com alguns casos de limites triviais (como todas as fixações são feitas ou a determinação do npv de uma quantia fixa que ainda não foi liquidada). hierarquia.
Se você estiver interessado no código, poderá procurar em meu repositório. Pode já funcionar, mas ainda não testei tudo. Mais sobre isso na próxima semana.
Precificação rápida de FX TARFs para XVA Calcuation.
Vamos jogar um jogo. Nós lançamos uma moeda dez vezes (aqui está uma maneira particularmente legal de fazer isso - você pode pegar a moeda grega de 2 euros, por exemplo, ela tem Εὐρώπη (tanto a deusa quanto o continente) nela). Se é cara eu te pago um euro. Se é coroa você me paga dois. Ah, e se você ganhar mais de três vezes enquanto estivermos jogando, nós paramos a coisa toda, ok?
Um fx tarf é uma seqüência de operações fx forward, onde nossa contraparte paga uma taxa de strike. Se o único atacante for a favor da contraparte, ele ou ela o executará na estrutura nominal (de modo que ele ou ela seja uma ligação longa). Se é a nosso favor, podemos executá-lo em duas vezes o valor nominal (por isso, estamos comprando duas vezes o valor nominal). E se a soma das fixações em favor da contraparte, com denotação da fixação de fx, exceder um determinado alvo, os restantes para a frente expiram sem mais pagamentos. Em tais estruturas existem várias utilizações para a fixação de cupons que acionam o alvo: ou o valor total para essa correção é pago, ou apenas parte do cupom necessário para atingir a meta, ou nenhum cupom.
A avaliação de tarfs fx em geral depende dos sorrisos fx para a fixação de cada componente. Todo o sorriso é importante aqui: tanto a greve do negócio quanto o alvo menos a quantia acumulada são pontos críticos no sorriso, obviamente. Como a quantidade acumulada é em si uma quantidade aleatória após a primeira fixação, todo o sorriso afetará o valor da estrutura. Além disso, as correlações intertemporais do ponto de fx nas datas de fixação desempenham um papel importante.
Neste e provavelmente um ou mais posts posteriores eu quero escrever sobre várias coisas:
como um mecanismo clássico de precificação de monte carlo pode ser implementado para essa estrutura como um npv aproximado para cenários de mercado e suposições de queda de tempo pode ser calculado muito rapidamente como isso pode ser implementado em um segundo mecanismo de precificação e como isso está relacionado ao primeiro como o design transparente e transparente da QuantLib pode ser mantido ao fazer tudo isso.
Obviamente, o preço rápido é útil para preencher o famoso cubo npv, que pode ser usado para calcular números de XVA como CVA, DVA etc.
O post de hoje é dedicado a algumas reflexões sobre a metodologia para preços rápidos e aproximados. Estou muito inspirado por uma palestra de alguns colegas da Murex que implementaram ideias semelhantes em sua plataforma para CVA e possíveis cálculos futuros de exposição. Além disso, a ideia está relacionada com o papel muito clássico e simples, mas brilhante, de Longstaff e Schwartz, Valorizando Opções Americanas por Simulação: Uma Abordagem de Mínimos Quadrados Simples, mas tem um sabor ligeiramente diferente aqui.
Vamos corrigir um determinado termo de tabela do tarf. A estrutura tem datas de pagamento a partir de 15 de novembro de 2014, e mensalmente até 15 de outubro de 2015. A fixação fx é considerada como a fixação do BCE para EUR-USD dois dias úteis antes de cada data de pagamento. O nominal é de 100 milhões de euros. A nossa contraparte detém as chamadas, nós, os puts e as nossas puts estão em 200 milhões de euros, então alavancados por um fator de dois. A greve é de 1,10, então as chamadas da contrapartida estavam no dinheiro na data da negociação.
A data de avaliação é 28 de abril de 2015 e a meta restante é de 0,10. O ponto fx a partir da data de avaliação é de 1,10. A volatilidade implícita para as opções de EUR-USD fx é de 20% (lognormal, ainda não é um problema nos mercados fx 😉 & # 8230;), constante ao longo do tempo e plana e assumimos taxas de juros iguais a Euro e USD, portanto Processo Garman-Kohlagen. O modo de pagamento é cupom total. É claro que as suposições sobre dados de mercado são apenas parcialmente realistas.
A ideia de aproximar eficientemente os npvs é a seguinte. Primeiro, fazemos um preço completo para o monte carlo da maneira usual. Cada caminho gera um npv. Nós armazenamos as seguintes informações em cada ponto de grade de cada caminho.
(# open Fixings, fx spot, quantidade acumulada até agora, npv das fixações restantes)
Espera-se, então, que possamos fazer uma análise de regressão do npv sobre esses principais vetores de preços, ou seja, o spot, o valor já acumulado e o número de fixações abertas.
Note que esta abordagem implica que o spot fx é retirado do campo & # 8220; fora & # 8221; Cenário de XVA, mas tudo o mais (as curvas de taxa de juros e a volatilidade) está implícito no modelo de precificação. Isso é um pouco (ou muito) inconsistente com um conjunto de cenários XVA em que as curvas de taxa e talvez também a estrutura de volatilidade fazem parte dos cenários.
Vamos corrigir o caso mais simples de apenas uma correção aberta à esquerda, ou seja, nos colocamos em um ponto no tempo em algum lugar após o segundo, mas o último e o último conserto. Também definimos o alvo para (por exemplo, ignoramos esse recurso) por enquanto e assumimos uma alavancagem de um. Nossa estrutura se desmorona a uma única frente de baunilha. Fazemos 250k caminhos monte carlo e traçamos os resultados (o npv está em porcentagem aqui):
Você vê o que está acontecendo? Nós obtemos uma nuvem de pontos que & # 8211; para quantia acumulada fixa & # 8211; condicionada na média das médias pontuais a uma linha representando o fx forward npv. Veja abaixo onde eu faço isso em 2d e onde fica mais claro. O que observamos aqui como primeira observação é que a posição da nuvem depende da quantidade acumulada: pontos inferiores são conectados com menores quantidades acumuladas e pontos mais altos com maiores quantidades acumuladas. Isso é bastante plausível, mas tem um impacto nas áreas em que temos dados suficientes para fazer uma regressão.
A próxima figura mostra os mesmos dados, mas projetando ao longo da dimensão de valor acumulado.
Além disso, acrescentei uma linha de regressão linear que deveria ser capaz de prever o npv dado um valor pontual. Para testar isso eu adicionei mais três linhas horizontais que estimam o npv para valores pontuais de 1.0, 1.1 e 1.2 pela média de todos os dados de monte carlo gerados dentro de baldes [0.99,1.01], [1.09,1.11] e [1.19,1.21] respectivamente . A esperança é que as linhas horizontais se cruzem com a linha de regressão nos valores x de 1.0, 1.1 e 1.2. Isso parece muito bom aqui.
Vamos ver agora um TARF real, ou seja, definir o alvo como 0,15.
O que é novidade aqui é que a nuvem é cortada no nível alvo, além de se desmoronar simplesmente para um plano indicando um zero npv. Bastante claro, porque nesta área a estrutura é terminada antes da última fixação.
Caso contrário, este caso não é muito diferente do caso anterior, uma vez que assumimos um pagamento de cupão completo e só temos uma correção restante, por isso temos um forward fx que pode ser eliminado pelo trigger de destino antes. Mais desafiador é o caso em que pagamos um cupom limitado. Excluindo dados em que o alvo foi acionado antes, neste caso, obtemos.
Queremos aproximar os npvs dos pontos 1.0, 1.1 e 1.2 e um valor acumulado de 0.05 (dividido por 0.04 a 0.06) agora. O recurso de destino introduz curvatura em nossa nuvem. Eu levo isso em consideração ajustando um polinômio quadrático em vez de apenas uma função linear.
Além disso, vemos que os npvs estão limitados a 15 agora e diminuem para pontos mais altos. Por que esta última coisa? Na verdade até agora eu usei apenas os tempos de fixação como tempos de simulação (porque somente eles são necessários para o preço e o processo pode tomar grandes passos devido à sua simplicidade), então o ponto é efetivamente a fixação anterior sempre. E se for acima de 1,1, exclui a possibilidade de cupons maiores do que sua diferença para 1,1.
Vamos adicionar mais tempos de simulação entre as fixações (100 por ano no total), como é provável que seja o caso nos cenários XVA externos que solicitam npvs no final:
A aproximação funciona bem para o spot 1.0, mas não para o 1.1 e 1.2 (nos dois casos acima). Até agora não usamos o valor acumulado em nossa aproximação npv. Então, vamos nos restringir a quantidades acumuladas de, e. 0,02 a 0,08 (lembre-se de que queremos uma predição condicionada em um valor acumulado de 0,05, eu escolho um intervalo maior para a regressão, apesar de ter "mais" dados e porque eu acho que não quero computar muitas funções de regressão em dois pequenos conjuntos de dados no final).
Melhor. Vamos para a planilha original agora (alavancagem 2, meta remanescente 0,1, cupom total) e 5 fixações abertas em vez de apenas 1 para ver se tudo isso se divide em um ambiente mais complexo (minha experiência diz: sim, isso vai acontecer). O montante acumulado que queremos aproximar é agora de 0,01:
Muito bem, puh. Nós vemos um novo artefato agora: a função de regressão quadrática começa a cair novamente para pontos maiores que 1,25. Isso obviamente não é sensato. Portanto, temos a necessidade não apenas de computar diferentes funções de regressão para diferentes quantidades acumuladas (e diferentes números de fixações abertas), mas também para diferentes regiões pontuais. Vamos calcular outra regressão quadrática para pontos maiores que 1,2, por exemplo (o gráfico azul):
Isso funcionaria para pontos mais altos.
Para resumir os experimentos, a abordagem parece sensata em geral, mas temos que ter em mente algumas coisas:
O número de etapas de tempo na simulação deve ser maior do que para fins de preços puros, possivelmente o tamanho da etapa da grade deve ser comparável à simulação de XVA.
A função de regressão pode ser assumida como quadrática, mas não globalmente. Em vez disso, o domínio deve ser particionado por.
o número de fixações abertas, possivelmente até o número de fixações abertas e a distância até a última fixação, a quantidade já acumulada no ponto fx.
A próxima tarefa seria pensar em um algoritmo que faz uma partição sensata automaticamente. Uma ideia seria exigir apenas uma certa porcentagem mínima dos dados gerados pela simulação inicial de monte carlo para os preços disponíveis em cada partição.
Próximo post será sobre a implementação dos dois motores de preços, então!
Quanto Forwards e Opções.
Quantos são melhor descritos através de um exemplo. Considere o índice Nikkei 225 Stock Average, que é, obviamente, medido em ienes. A quanto do índice Nikkei é uma nova entidade que definimos como sendo o valor do índice medido em dólares americanos. Mais detalhadamente, se o índice em um determinado dia tiver um valor de 00018000, esse número será tratado como $ 18000, em vez de Ґ18000. Na prática, esse número é freqüentemente multiplicado por uma constante, que é considerada como uma taxa de câmbio fixa.
Para avaliar um derivativo baseado em um quanto deve-se levar em consideração a taxa de câmbio. Portanto, existem duas fontes de risco e um modelo de dois fatores deve ser usado. Esta é a diferença básica entre os derivados sobre quantos e aqueles sobre subjacentes não-quanto, conforme descrito na seção seguinte.
Fórmulas & amp; Detalhes técnicos.
Nós damos uma breve e simples descrição sobre como valorizar os forwards e as opções. Uma detalhada e rigorosa derivação matemática pode ser encontrada no livro de Baxter e Rennie [1]. A avaliação de quanto forwards também é tratada em Hull [2].
Para maior clareza, usamos o índice de ações japonês, Nikkei 225 Stock Average, para descrever a avaliação de quanto para frente e opções. Definir:
: Índice Nikkei medido em ienes no momento.
: Taxa de câmbio: valor em dólares por unidade de iene.
: rendimento de dividendos no índice Nikkei.
: taxa de risco doméstico ($) livre de risco.
: taxa livre de risco do iene japonês.
Como no modelo de Black-Scholes, presume-se que eles sigam as distribuições log-normais e as taxas, e são assumidos como constantes durante a vida de um contrato a prazo ou uma opção no índice.
Quanto ao quanto, o índice Nikkei tem um preço medido em dólares americanos. A variável envolve duas fontes de risco: o risco associado ao índice e o risco associado à taxa de câmbio. Pode-se mostrar que isso não é negociável no mercado do dólar americano. Para avaliar os derivativos, é necessário construir uma medida de probabilidade “neutra ao risco” sob a qual tanto o risco da taxa de câmbio quanto o risco do subjacente são “neutros ao risco” (ou seja, ambos os processos estocásticos e são martingales com em relação a essa medida de probabilidade). Pode ser provado que tal medida existe e é única. Deixe denotar essa medida de probabilidade. Podemos, então, anotar o preço a prazo dos valores acima e os valores justos das opções européias de compra e venda e opções binárias como segue.
Seja o preço de entrega de um contrato a termo no índice Nikkei. Então pode ser mostrado que, eliminando oportunidades de arbitragem,
e são as volatilidades anualizadas do índice Nikkei e da taxa de câmbio, respectivamente, e.
é a correlação de log e log.
Opções de compra e venda de estilo europeu.
Seja o preço de exercício de uma opção de compra de estilo europeu no índice Nikkei. Então o valor justo de uma opção de compra no índice é dado por.
Opções binárias (digitais).
Uma opção binária tem, no vencimento, um pagamento de uma quantia fixa (ou do próprio ativo) ou nada, dependendo se o ativo subjacente está acima ou abaixo de um nível de greve.
1. Dinheiro ou nada.
onde está o pagamento em dinheiro no vencimento.
2. Dinheiro ou nada.
3. Chamada de recurso ou nada.
4. Ativo ou nada colocado.
Funções do FINCAD.
Quanto mais adiante.
aaQuanto_fwd (price_ufor, FX_fix, d_exp, d_v, vlt_u, vlt_FX, corr, rate_for, cost_hldg, stat):
Calcula o preço a termo e as estatísticas de risco de um ativo quanto.
Quanto Opções.
As seguintes funções retornam o valor justo e as estatísticas de risco para a versão quanto a diferentes tipos de opções (consulte os documentos correspondentes para diferentes tipos de opções para obter mais informações):
aaQuanto_Asian (price_ufor, ex_for, FX_fix, média, sam_freq, d_exp, d_v, d_aver, vlt_u, vlt_FX, corr, rate_for_ann, rate_dom_ann, cost_hldg, option_type, stat)
aaQuanto_asian_basket_fs_MC (asian_bskt_info, ex, curr_tbl, corr_matrix, d_v, d_exp, d_aver, sam_seq, option_type, num_rnd, table_type)
aaQuanto_asian_basket_MC (asian_bskt_info, ex, curr_tbl, corr_matrix, d_v, d_exp, d_aver, sam_freq, option_type, num_rnd, table_type)
aaQuanto_Barrier_am (price_ufor, ex_for, FX_fix, bar, d_v, d_exp, bar_type, desconto, vlt_u, vlt_FX, corr, rate_for_ann, rate_dom_ann, cost_hldg, option_type, optimize, stat)
aaQuanto_Barrier_dbl (d_v, d_exp, pre_for, ex_for, FX_fix, bar1, bar2, rebate_up, rebate_dn, vlt_u, vlt_FX, corr, rate_for_ann, rate_dom_ann, cost_hldg, opção_tipo, otimizar, opção_estilo, stat)
aaQuanto_Barrier_dbl_bin (d_v, d_exp, pre_for_forex, ex_for, FX_fix, bar1, bar2, rebate_exp, rebate_up, rebate_dn, vlt_u, vlt_FX, corr, rate_for_ann, rate_dom_ann, cost_hldg, option_type, optimize, stat)
aaQuanto_Barrier_eu (price_ufor, ex_for, FX_fix, bar, d_v, d_exp, bar_type, desconto, vlt_u, vlt_FX, corr, rate_for_ann, rate_dom_ann, cost_hldg, option_type, stat)
aaQuanto_basket_MC (bskt_info, ex, curr_tbl, corr_matrix, d_v, d_exp, option_type, num_rnd, table_type)
aaQuanto_Berm (price_ufor, ex_for, FX_fix, d_exp, d_v, d_berm_list, vlt_u, vlt_FX, corr, rate_for_ann, rate_dom_ann, cost_hldg, option_type, iter, stat)
aaQuanto_BIN2 (price_ufor, ex_for, FX_fix, d_exp, d_v, vlt_u, vlt_FX, corr, rate_for, rate_dom, cost_hldg, option_type, iter, stat)
aaQuanto_bin_cash (price_ufor, ex_for, d_exp, d_v, vlt_u, vlt_FX, corr, rate_for_ann, rate_dom_ann, div_yield, dinheiro, option_type, stat)
aaQuanto_bin_asset (price_ufor, strk_level, FX_fix, d_exp, d_v, vlt_u, vlt_FX, corr, rate_for_ann, rate_dom_ann, div_yield, option_type, stat)
aaQuanto_Binary_hit_asset (price_ufor, bar, FX_fix, d_v, d_exp, bar_type, paytime_type, vlt_u, vlt_FX, corr, rate_for_ann, rate_dom_ann, cost_hldg, stat)
aaQuanto_Binary_hit_cash (price_ufor, bar, FX_fix, d_v, d_exp, bar_type, dinheiro, paytime_type, vlt_u, vlt_FX, corr, rate_for_ann, rate_dom_ann, cost_hldg, stat)
aaQuanto_Binary_in_asset (price_ufor, ex_for, FX_fix, barra, d_v, d_exp, bar_type, vlt_u, vlt_FX, corr, rate_for_ann, rate_dom_ann, cost_hldg, option_type, stat)
aaQuanto_Binary_in_cash (price_ufor, ex_for, FX_fix, bar, d_v, d_exp, bar_type, dinheiro, vlt_u, vlt_FX, corr, rate_for_ann, rate_dom_ann, cost_hldg, option_type, stat)
aaQuanto_Binary_nohit_asset (price_ufor, bar, FX_fix, d_v, d_exp, bar_type, vlt_u, vlt_FX, corr, rate_for_ann, rate_dom_ann, cost_hldg, stat)
aaQuanto_Binary_nohit_cash (price_ufor, bar, FX_fix, d_v, d_exp, bar_type, dinheiro, vlt_u, vlt_FX, corr, rate_for_ann, rate_dom_ann, cost_hldg, stat)
aaQuanto_Binary_out_asset (price_ufor, ex_for, FX_fix, barra, d_v, d_exp, bar_type, vlt_u, vlt_FX, corr, rate_for_ann, rate_dom_ann, cost_hldg, option_type, stat)
aaQuanto_Binary_out_cash (price_ufor, ex_for, FX_fix, bar, d_v, d_exp, bar_type, dinheiro, vlt_u, vlt_FX, corr, rate_for_ann, rate_dom_ann, cost_hldg, option_type, stat)
aaQuanto_Chooser (d_v, d_exp_opt, preço_u, d_exp_call, ex_call, d_exp_put, ex_put, FX_fix, vlt_u, vlt_FX, corr, rate_for_ann, rate_dom_ann, cost_hldg, stat)
aaQuanto_Compound (d_v, d_exp_opt, option_type_c, ex_cmpd, d_exp_u, price_ufor, ex_u, FX_fix, option_type_u, vlt_u, vlt_FX, corr, rate_for_ann, rate_dom_ann, cost_hldg, stat)
aaQuanto_FS (d_v, d_issue, d_exp, price_ufor, ex_scaling, FX_fix, vlt_u, vlt_FX, corr, rate_for_ann, rate_dom_ann, cost_hldg, option_type, stat)
aaQuanto_fwd (price_ufor, FX_fix, d_exp, d_v, vlt_u, vlt_FX, corr, rate_for, cost_hldg, stat)
aaQuanto_Geo_Asian (price_ufor, ex_for, FX_fix, d_v, d_exp, d_aver, média, vlt_u, vlt_FX, corr, rate_for_ann, rate_dom_ann, cost_hldg, sam_freq, option_type, stat)
aaQuanto_Geo_Asian_fs (price_ufor, ex_for, FX_fix, d_v, d_exp, d_aver, média, vlt_u, vlt_FX, corr, rate_for_ann, rate_dom_ann, cost_hldg, sam_seq, option_type, stat)
aaQuanto_Geo_aver_strk (price_ufor, FX_fix, d_v, d_exp, d_aver, média, vlt_u, vlt_FX, corr, rate_for_ann, rate_dom_ann, cost_hldg, sam_freq, option_type, stat)
aaQuanto_Geo_aver_strk_fs (price_ufor, FX_fix, d_v, d_exp, d_aver, média, vlt_u, vlt_FX, corr, rate_for_ann, rate_dom_ann, cost_hldg, sam_seq, option_type, stat)
aaQuanto_Look (price_ufor, ex_for, FX_fix, d_v, d_exp, vlt_u, vlt_FX, corr, rate_for_ann, rate_dom_ann, cost_hldg, option_type, stat)
aaQuanto_opt (price_ufor, ex_for, FX_fix, d_exp, d_v, vlt_u, vlt_FX, corr, rate_for, rate_dom, cost_hldg, option_type, stat)
Funções de Localização de Raiz para Quantos.
Muitas dessas funções do FINCAD têm suas versões inversas (localização da raiz):
Essas funções “_ix” (onde x é qualquer parâmetro de entrada) encontram o valor de qualquer parâmetro de entrada para um dado valor de uma estatística de saída. Mais detalhes podem ser encontrados no documento Referência de Matemática do FINCAD.
Descrição das Entradas.
Uma constante positiva.
Data de expiração da opção.
A volatilidade anualizada do ativo subjacente (estrangeiro).
A volatilidade anualizada da taxa de câmbio.
A correlação entre o retorno do subjacente e o da taxa de câmbio. Veja detalhes na última seção.
Essas taxas são cotadas em uma base composta por lei anual / 365 (fixa). O parâmetro rate_dom é a taxa de juros doméstica livre de risco relevante, rate_for é a taxa livre de risco estrangeiro relevante e div_yield a taxa de pagamento de dividendos do ativo subjacente (estrangeiro).
Veja a descrição da saída nos exemplos abaixo.
Preço de exercício de uma opção.
O pagamento no vencimento de uma opção binária, se a opção estiver no dinheiro. Usado nas funções aaQuanto_bin_cash () e aaQuanto_bin_asset ().
O tipo de opção:
Descrição das Saídas.
O valor justo da opção.
delta de subjacente.
A taxa de mudança no valor justo de cada unidade por unidade muda no valor atual do ativo subjacente. Esta é a derivada do preço relativo a quanto ao valor atual subjacente.
Semelhante ao delta do subjacente, mas o derivativo é com relação à taxa de câmbio.
gama de subjacente.
A taxa de variação no valor de delta de subjacente por unidade muda no valor do ativo subjacente. Esta é a segunda derivada do preço quanto ao valor atual subjacente.
Semelhante ao gama de subjacente, mas a derivada é em relação à taxa de câmbio.
A taxa de mudança no valor justo do quanto por um dia diminui o tempo da opção. Este é o negativo da derivada do preço quanto ao tempo da opção (em anos), dividido por 365.
vega de subjacente.
A taxa de variação no valor justo da mudança de 1% na volatilidade do preço do ativo subjacente (estrangeiro). Este é o derivativo do preço relativo a essa volatilidade, dividido por 100.
Semelhante ao vega, mas o derivativo é com relação à volatilidade da taxa de câmbio.
rho de doméstico.
A taxa de variação no valor justo da mudança de 1% na taxa livre de risco da moeda nacional, rate_dom. Esta é a derivada do preço da opção com relação a rate_dom, dividido por 100.
Semelhante ao rho de doméstico, mas o derivado é com relação à taxa livre de risco doméstico, rate_for. Rendimento de dividendos, div_yield.
rho de dividendo.
Semelhante a rho de doméstico, mas a derivada é com respeito ao rendimento de dividendos, div_yield.
Para mais informações sobre entradas e saídas, consulte os documentos de Referência de Função correspondentes, acessíveis a partir do menu principal do FINCAD XL, Referências de Documentos / Funções. Para obter detalhes sobre o cálculo dos gregos, consulte o documento de Referência Matemática dos Instrumentos Gráficos das Opções sobre Instrumentos de Taxa Não Financeira.
Exemplos específicos de contexto são apresentados para quanto forwards e opções em índices e ações.
Exemplo 1: Quanto mais adiante em um índice de ações.
Considere um contrato a termo sobre o índice de ações Nikkei 225 medido em dólares americanos ($) multiplicado por 5. Suponha que o índice tenha um valor atual de 718700. Hoje é 1º de agosto de 1997. A data de entrega do contrato é 1º de fevereiro de 1998. Suponha que a taxa de pagamento de dividendos do índice seja de 1% (composto anual, real / 365 (fixo)) e a taxa de juros livre de risco relevante. taxa de juros no Japão é de 2% (composta anual, real / 365 (fixa)). Suponha que a volatilidade anual do índice Nikkei seja de 20% e que a taxa de câmbio, valor em dólares por unidade de iene ($ / Ґ), seja 0,10. Suponha ainda que a correlação entre o retorno do índice e o da taxa de câmbio seja 0,1. Use the function aaQuanto_fwd() to obtain the following results:
underlying price (foreign)
fixed FX rate, domestic currency per one unit of fixed foreign currency.
volatility of underlying.
volatility of foreign exchange rate.
rate – foreign – annual Actual/365.
holding cost – annual – Actual/365.
vega of underlying.
rho de taxa externa.
rho of dividend.
Example 2: Quanto call option on a stock.
Consider a call option on a British stock. The option has a payoff in US dollars with a fixed FX rate of 5 dollars per one pound. Suppose the stock has a spot price of 100 (Ј), the strike price is 90 (Ј). Today’s date is Aug. 1, 1997. The expiration date of the option is Feb. 1, 1998. Suppose the relevant sterling risk-free interest rate is 7% (annually compounded, Actual/365 (fixed)), that of the US dollars is 5% and the stock has a dividend payout rate of 3% (annually compounded, Actual/365 (fixed)). Suppose the annual volatility of the stock is 20% and that of the FX rate is 10%. Suppose the correlation between the return of the index and the return of the FX rate is 0.5. Use the function aaQuanto_opt() to obtain the following results:
underlying price (foreign)
exercise price (foreign)
fixed FX rate, domestic currency per one unit of fixed foreign currency.
volatility of underlying.
volatility of foreign exchange rate.
rate – foreign - annual – Actual/365.
rate – domestic – annual – Actual/365.
holding cost – annual – Actual/365.
delta of underlying.
gamma of underlying.
vega of underlying.
rho da taxa doméstica.
rho de taxa externa.
rho of dividend.
Example 3: Quanto binary option on an equity.
Suppose in example 2 the payoff of the option is cash or nothing: if the option at the expiration date is in the money, then the holder of the option gets a fixed amount of cash; if the stock value is out of the money, then the holder gets nothing. Suppose the cash amount is $20. Use the function aaQuanto_bin_cash to obtain the following results:
underlying price (foreign)
exercise price (foreign)
volatility of underlying.
volatility of foreign exchange rate.
rate – foreign - annual – Actual/365.
rate – domestic – annual – Actual/365.
delta of underlying.
gamma of underlying.
vega of underlying.
rho da taxa doméstica.
rho de taxa externa.
rho of dividend.
Referências.
[2] Hull , John, (1997), Options, Futures, and Other Derivatives, 3rd ed ., Upper Saddle River , Prentice Hall.
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Como quebrar uma opção de FX P & amp; L?
Estou comparando as avaliações de mark-to-market (MtM) de dois sistemas de risco, com relação a opções de câmbio.
Minha pergunta é que posso quantificar a diferença no MtM, dado o seguinte:
AUD / JPY, MTM = USD 461.000, Vol. Implícitas = 11,88%, Vega = USD 82.000, Taxa Forward = 97.29 e USD Delta = -15.300.000.
AUD / JPY, MTM = USD 406.000, Vol. Implícitas. = 12,14%, Vega = USD 77.000, Taxa Forward = 97,81 e USD Delta = -13.600.000.
Supondo que ambos os sistemas usem Black Scholes, como posso quantificar a diferença em MtM (em USD) que é de USD 55.000 atribuindo-a a:
Diferença na Volatilidade Implícita e; Diferença nas taxas a prazo?
Eu tentei fazer isso e ainda tenho uma pequena diferença - é possível quantificar isso também?
Alguma diferença residual é esperada devido a gama e outros gregos de ordem superior, e para avaliar premissas como mencionado acima. Além disso, você deve se certificar sobre o significado do delta expresso em USD para uma opção AUD / JPY; Não tenho certeza se isso é padrão em todos os sistemas. Poderia ser o valor em dólar do JPY manter como hedge tendo AUD como a moeda sem risco, ou o valor em dólar de AUD para manter como hedge tendo JPY como moeda sem risco, ou o valor de AUD ou JPY para segurar por uma cobertura combinada de movimentos de ambas as moedas contra USD. Também pode ser versões premium ou incluídas destes.
Você verificou que usa a mesma taxa de juros para AUD e JPY em ambos os sistemas? A diferença é bem grande. O modelo usado deve ser Garman-Kohlhagen, que é Black Scholes com duas taxas de juros. Em que moeda é o vega?
Brincando com o QuantLib.
Estatísticas do Blog.
Nenhuma postagem nova esta semana. Isto não é porque eu sou preguiçoso, mas achei que vale a pena resumir os resultados sobre preços aproximados de FX TaRF em um pequeno artigo. Vou escrever sobre isso aqui também, com ênfase no código QuantLib. Semana que vem. Cuidar.
No meu post anterior eu escrevi sobre algumas idéias para aproximar eficientemente o valor de um fx exótico (um fx tarf na verdade). Uma motivação principal é usar um preço tão rápido em uma simulação de XVA.
Este post é dedicado ao design que eu criei para encaixar a ideia da forma mais precisa possível na arquitetura QuantLib existente.
O próximo post, em seguida, apresentará detalhes sobre o esquema de aproximação em si, alguns exemplos numéricos comparando a aproximação com um preço total sob vários cenários de deterioração de mercado e tempo, e testes de desempenho.
Um bom design é de extrema importância. Mesmo em uma vizinhança próspera, uma janela quebrada, não rapidamente consertada, logo levará a uma segunda e, depois de um tempo, a uma área degenerada. Felizmente, Luigi não permitiria que isso acontecesse na cidade QuantLib, é claro.
Estes são os meus pensamentos sobre o design em geral:
devemos ter dois mecanismos de preços, um MC e um mecanismo Proxy. Não devemos ter apenas um mecanismo com alguns métodos adicionais para extrair os NPVs aproximados de forma proprietária, o mecanismo proxy deve se comportar como qualquer outro mecanismo, por exemplo, o decaimento do tempo deve consistentemente ser deduzido da data de avaliação global, não por meio de algum parâmetro especial, e os dados de mercado relevantes devem ser dados por estruturas padrão. A implementação de novos instrumentos e mecanismos de precificação seguindo a mesma idéia deve ser fácil e baseada em interface comum a interface do usuário final usada no código do cliente deve ser fácil de usar e à prova de falhas A simulação do XVA é uma aplicação do mecanismo de proxy, mas não há nenhuma conexão estrita com este caso de uso & # 8211; você também pode usar o mecanismo de proxy & # 8220; apenas & # 8221; para calcular npvs mais rapidamente se não for necessária alta precisão.
Ou resumindo: não deve haver nada de especial na coisa toda. Limite seu entusiasmo, apenas faça um trabalho sólido e simples, não tente impressionar ninguém. OK. Vamos começar com a classe de instrumentos.
O construtor leva.
a agenda da estrutura (ou seja, as datas dos valores), o índice fx subjacente representando, por exemplo, uma correção fx do BCE (esta é uma nova classe também, porque não parece ser um índice fx no QuantLib ainda, mas eu não entro em detalhes sobre isso aqui), o nominal da estrutura (em moeda estrangeira, ativo ou fonte, existem muitos nomes para isso) as contrapartes & # 8217; perfis de payoff, que normalmente são short puts e long calls, todos compartilhando o mesmo, atingem o nível alvo em que a estrutura derruba o tipo de cupom (veja o post anterior que eu fiz o link acima) a alavancagem dos dois lados do negócio.
Os dois últimos parâmetros accumulatedAmount e lastAmount são opcionais. Se não for fornecido, o FxTarf calcula a quantia já acumulada lendo as fixações históricas do índice.
Se especificado por outro lado, as fixações históricas são ignoradas e a quantidade acumulada é usada. A lastAmount neste contexto é necessária apenas no caso de a última correção já ter ocorrido, mas o pagamento associado ainda está no futuro. A razão para introduzir esses parâmetros um tanto redundantes é a seguinte. Por um lado, pode ser útil não definir todas as fixações históricas para o índice fx, mas definir diretamente o valor acumulado. Talvez você obtenha as informações da transação de algum sistema de origem e já forneça o valor acumulado atual juntamente com os dados da transação. Mais importante, durante uma simulação de XVA, talvez você não queira definir todas as fixações no IndexManager. Você pode fazer isso, se quiser, mas pode não ser útil, porque depois de cada caminho você tem que apagar todas as fixações novamente ou talvez você não simule cada data de conserto e apenas queira interpolar as fixações acumuladas. Em qualquer caso, é apenas um parâmetro de conveniência. Use ou simplesmente ignore.
Para um preço completo do tarf, podemos usar um motor monte carlo que é construído da maneira usual, por exemplo.
Os parâmetros aqui são o processo Black Scholes (generalizado), os intervalos de tempo para simular por ano, a semente para o RNG.
O último modificador. withProxy () é a única coisa especial aqui: Por padrão, o mecanismo calcula apenas um npv (e estimativa de erro) como qualquer outro mecanismo mc faz. Se o mecanismo for configurado com o sinalizador de proxy, por outro lado, informações adicionais durante a simulação serão coletadas e analisadas para produzir algum objeto de informações de proxy que possa ser usado posteriormente para os preços aproximados. Vamos ver em um minuto como.
Precisamos desse modificador porque a simulação fica mais lenta ao criar o proxy, portanto, poderemos desativá-lo.
Agora, configuramos o mecanismo e podemos calcular o npv (completo):
Se quisermos apenas o preço de proxy, podemos, claro, ignorar o cálculo completo do npv, mas isso não prejudica, pois o npv é sempre produzido, mesmo que seja apenas o cálculo das informações para o mecanismo de proxy.
Para usar o mecanismo de proxy, precisamos começar com um mecanismo que possa produzir essa informação. O mecanismo de proxy é então alimentado com o objeto proxy:
O mecanismo de proxy é construído com.
a descrição de proxy produzida pelo mecanismo mc, que pode ser recuperada do instrumento por. proxy () (este é um resultado especial, que parece importante o suficiente para não enterrá-lo no heap de resultados adicionais - isso não é nada inovador) , é como a taxa bps ou justa para swaps como exemplo) a cotação fx usada para o preço & # 8211; ou seja, os dados essenciais de mercado necessários para a precificação por procuração da curva de desconto para a precificação (que é tomada como a curva de taxa doméstica de nosso processo de black scholes em nosso exemplo de código de cliente)
Além disso, a data de avaliação global determinará a data de referência para a avaliação, como de costume.
Se o instrumento não fornecer um objeto proxy (por exemplo, porque o mecanismo mc foi informado, veja acima), ou se o objeto proxy não for adequado para o mecanismo proxy a ser construído, será lançada uma exceção.
O que está acontecendo nos bastidores: Eu adicionei uma interface para instrumentos que são capazes de definir preços de proxy:
O único método para implementar é o proxy, que deve retornar um objeto contendo as informações necessárias para um mecanismo de proxy compatível calcular os npvs aproximados (veja abaixo quais meios compatíveis). As informações em si devem ser um objeto derivado de ProxyInstrument :: ProxyDescription. Ele deve fornecer um método de validação que deve verificar os dados fornecidos quanto à consistência.
Como é o instrumento fx tarf implementado w. r.t. essa interface:
Isso diz que a informação de proxy específica (ou uma possível) de um fx tarf consiste em alguns dados descritivos, que é.
o número máximo de fixações abertas (futuras) a última data de pagamento da estrutura & # 8211; veja abaixo um balanceamento do valor acumulado.
que juntos definem uma segmentação para a função de aproximação. Em cada segmento, a função de aproximação é então dada por um Proxy :: ProxyFunction, que neste nível de abstração é apenas uma função arbitrária de Real para Real, retornando o npv para um determinado ponto de fx. O npv é expresso na base progressiva a partir da data do último pagamento da estrutura, de modo que o mecanismo de proxy pode descontar de volta desta última data de precificação possível para a data de avaliação. Lembre-se que isto é em geral (e tipicamente) diferente do usado para o preço do mc.
O método de validação verifica se a matriz de funções está preenchida de forma consistente com as informações de segmentação.
O objeto proxy faz parte da classe de resultados do instrumento, que está novamente usando apenas o formalismo padrão:
O mecanismo de proxy espera que um objeto proxy, que é verificado para ser um que seja útil para o mecanismo, esteja no construtor, usando um downcast dinâmico.
O terceiro nível de especialização está no mecanismo monte carlo, onde o tipo de função do objeto proxy específico é implementado, derivado das definições da classe FxTarf:
Neste local, finalmente fixamos a forma específica das funções de aproximação, que são essencialmente dadas por dois polinômios quadráticos. Vou dar mais detalhes e uma motivação para isso no próximo post.
Finalmente, pareceu útil derivar os motores mc e proxy de um mecanismo de base comum, que lida com alguns casos de limites triviais (como todas as fixações são feitas ou a determinação do npv de uma quantia fixa que ainda não foi liquidada). hierarquia.
Se você estiver interessado no código, poderá procurar em meu repositório. Pode já funcionar, mas ainda não testei tudo. Mais sobre isso na próxima semana.
Precificação rápida de FX TARFs para XVA Calcuation.
Vamos jogar um jogo. Nós lançamos uma moeda dez vezes (aqui está uma maneira particularmente legal de fazer isso - você pode pegar a moeda grega de 2 euros, por exemplo, ela tem Εὐρώπη (tanto a deusa quanto o continente) nela). Se é cara eu te pago um euro. Se é coroa você me paga dois. Ah, e se você ganhar mais de três vezes enquanto estivermos jogando, nós paramos a coisa toda, ok?
Um fx tarf é uma seqüência de operações fx forward, onde nossa contraparte paga uma taxa de strike. Se o único atacante for a favor da contraparte, ele ou ela o executará na estrutura nominal (de modo que ele ou ela seja uma ligação longa). Se é a nosso favor, podemos executá-lo em duas vezes o valor nominal (por isso, estamos comprando duas vezes o valor nominal). E se a soma das fixações em favor da contraparte, com denotação da fixação de fx, exceder um determinado alvo, os restantes para a frente expiram sem mais pagamentos. Em tais estruturas existem várias utilizações para a fixação de cupons que acionam o alvo: ou o valor total para essa correção é pago, ou apenas parte do cupom necessário para atingir a meta, ou nenhum cupom.
A avaliação de tarfs fx em geral depende dos sorrisos fx para a fixação de cada componente. Todo o sorriso é importante aqui: tanto a greve do negócio quanto o alvo menos a quantia acumulada são pontos críticos no sorriso, obviamente. Como a quantidade acumulada é em si uma quantidade aleatória após a primeira fixação, todo o sorriso afetará o valor da estrutura. Além disso, as correlações intertemporais do ponto de fx nas datas de fixação desempenham um papel importante.
Neste e provavelmente um ou mais posts posteriores eu quero escrever sobre várias coisas:
como um mecanismo clássico de precificação de monte carlo pode ser implementado para essa estrutura como um npv aproximado para cenários de mercado e suposições de queda de tempo pode ser calculado muito rapidamente como isso pode ser implementado em um segundo mecanismo de precificação e como isso está relacionado ao primeiro como o design transparente e transparente da QuantLib pode ser mantido ao fazer tudo isso.
Obviamente, o preço rápido é útil para preencher o famoso cubo npv, que pode ser usado para calcular números de XVA como CVA, DVA etc.
O post de hoje é dedicado a algumas reflexões sobre a metodologia para preços rápidos e aproximados. Estou muito inspirado por uma palestra de alguns colegas da Murex que implementaram ideias semelhantes em sua plataforma para CVA e possíveis cálculos futuros de exposição. Além disso, a ideia está relacionada com o papel muito clássico e simples, mas brilhante, de Longstaff e Schwartz, Valorizando Opções Americanas por Simulação: Uma Abordagem de Mínimos Quadrados Simples, mas tem um sabor ligeiramente diferente aqui.
Vamos corrigir um determinado termo de tabela do tarf. A estrutura tem datas de pagamento a partir de 15 de novembro de 2014, e mensalmente até 15 de outubro de 2015. A fixação fx é considerada como a fixação do BCE para EUR-USD dois dias úteis antes de cada data de pagamento. O nominal é de 100 milhões de euros. A nossa contraparte detém as chamadas, nós, os puts e as nossas puts estão em 200 milhões de euros, então alavancados por um fator de dois. A greve é de 1,10, então as chamadas da contrapartida estavam no dinheiro na data da negociação.
A data de avaliação é 28 de abril de 2015 e a meta restante é de 0,10. O ponto fx a partir da data de avaliação é de 1,10. A volatilidade implícita para as opções de EUR-USD fx é de 20% (lognormal, ainda não é um problema nos mercados fx 😉 & # 8230;), constante ao longo do tempo e plana e assumimos taxas de juros iguais a Euro e USD, portanto Processo Garman-Kohlagen. O modo de pagamento é cupom total. É claro que as suposições sobre dados de mercado são apenas parcialmente realistas.
A ideia de aproximar eficientemente os npvs é a seguinte. Primeiro, fazemos um preço completo para o monte carlo da maneira usual. Cada caminho gera um npv. Nós armazenamos as seguintes informações em cada ponto de grade de cada caminho.
(# open Fixings, fx spot, quantidade acumulada até agora, npv das fixações restantes)
Espera-se, então, que possamos fazer uma análise de regressão do npv sobre esses principais vetores de preços, ou seja, o spot, o valor já acumulado e o número de fixações abertas.
Note que esta abordagem implica que o spot fx é retirado do campo & # 8220; fora & # 8221; Cenário de XVA, mas tudo o mais (as curvas de taxa de juros e a volatilidade) está implícito no modelo de precificação. Isso é um pouco (ou muito) inconsistente com um conjunto de cenários XVA em que as curvas de taxa e talvez também a estrutura de volatilidade fazem parte dos cenários.
Vamos corrigir o caso mais simples de apenas uma correção aberta à esquerda, ou seja, nos colocamos em um ponto no tempo em algum lugar após o segundo, mas o último e o último conserto. Também definimos o alvo para (por exemplo, ignoramos esse recurso) por enquanto e assumimos uma alavancagem de um. Nossa estrutura se desmorona a uma única frente de baunilha. Fazemos 250k caminhos monte carlo e traçamos os resultados (o npv está em porcentagem aqui):
Você vê o que está acontecendo? Nós obtemos uma nuvem de pontos que & # 8211; para quantia acumulada fixa & # 8211; condicionada na média das médias pontuais a uma linha representando o fx forward npv. Veja abaixo onde eu faço isso em 2d e onde fica mais claro. O que observamos aqui como primeira observação é que a posição da nuvem depende da quantidade acumulada: pontos inferiores são conectados com menores quantidades acumuladas e pontos mais altos com maiores quantidades acumuladas. Isso é bastante plausível, mas tem um impacto nas áreas em que temos dados suficientes para fazer uma regressão.
A próxima figura mostra os mesmos dados, mas projetando ao longo da dimensão de valor acumulado.
Além disso, acrescentei uma linha de regressão linear que deveria ser capaz de prever o npv dado um valor pontual. Para testar isso eu adicionei mais três linhas horizontais que estimam o npv para valores pontuais de 1.0, 1.1 e 1.2 pela média de todos os dados de monte carlo gerados dentro de baldes [0.99,1.01], [1.09,1.11] e [1.19,1.21] respectivamente . A esperança é que as linhas horizontais se cruzem com a linha de regressão nos valores x de 1.0, 1.1 e 1.2. Isso parece muito bom aqui.
Vamos ver agora um TARF real, ou seja, definir o alvo como 0,15.
O que é novidade aqui é que a nuvem é cortada no nível alvo, além de se desmoronar simplesmente para um plano indicando um zero npv. Bastante claro, porque nesta área a estrutura é terminada antes da última fixação.
Caso contrário, este caso não é muito diferente do caso anterior, uma vez que assumimos um pagamento de cupão completo e só temos uma correção restante, por isso temos um forward fx que pode ser eliminado pelo trigger de destino antes. Mais desafiador é o caso em que pagamos um cupom limitado. Excluindo dados em que o alvo foi acionado antes, neste caso, obtemos.
Queremos aproximar os npvs dos pontos 1.0, 1.1 e 1.2 e um valor acumulado de 0.05 (dividido por 0.04 a 0.06) agora. O recurso de destino introduz curvatura em nossa nuvem. Eu levo isso em consideração ajustando um polinômio quadrático em vez de apenas uma função linear.
Além disso, vemos que os npvs estão limitados a 15 agora e diminuem para pontos mais altos. Por que esta última coisa? Na verdade até agora eu usei apenas os tempos de fixação como tempos de simulação (porque somente eles são necessários para o preço e o processo pode tomar grandes passos devido à sua simplicidade), então o ponto é efetivamente a fixação anterior sempre. E se for acima de 1,1, exclui a possibilidade de cupons maiores do que sua diferença para 1,1.
Vamos adicionar mais tempos de simulação entre as fixações (100 por ano no total), como é provável que seja o caso nos cenários XVA externos que solicitam npvs no final:
A aproximação funciona bem para o spot 1.0, mas não para o 1.1 e 1.2 (nos dois casos acima). Até agora não usamos o valor acumulado em nossa aproximação npv. Então, vamos nos restringir a quantidades acumuladas de, e. 0,02 a 0,08 (lembre-se de que queremos uma predição condicionada em um valor acumulado de 0,05, eu escolho um intervalo maior para a regressão, apesar de ter "mais" dados e porque eu acho que não quero computar muitas funções de regressão em dois pequenos conjuntos de dados no final).
Melhor. Vamos para a planilha original agora (alavancagem 2, meta remanescente 0,1, cupom total) e 5 fixações abertas em vez de apenas 1 para ver se tudo isso se divide em um ambiente mais complexo (minha experiência diz: sim, isso vai acontecer). O montante acumulado que queremos aproximar é agora de 0,01:
Muito bem, puh. Nós vemos um novo artefato agora: a função de regressão quadrática começa a cair novamente para pontos maiores que 1,25. Isso obviamente não é sensato. Portanto, temos a necessidade não apenas de computar diferentes funções de regressão para diferentes quantidades acumuladas (e diferentes números de fixações abertas), mas também para diferentes regiões pontuais. Vamos calcular outra regressão quadrática para pontos maiores que 1,2, por exemplo (o gráfico azul):
Isso funcionaria para pontos mais altos.
Para resumir os experimentos, a abordagem parece sensata em geral, mas temos que ter em mente algumas coisas:
O número de etapas de tempo na simulação deve ser maior do que para fins de preços puros, possivelmente o tamanho da etapa da grade deve ser comparável à simulação de XVA.
A função de regressão pode ser assumida como quadrática, mas não globalmente. Em vez disso, o domínio deve ser particionado por.
o número de fixações abertas, possivelmente até o número de fixações abertas e a distância até a última fixação, a quantidade já acumulada no ponto fx.
A próxima tarefa seria pensar em um algoritmo que faz uma partição sensata automaticamente. Uma ideia seria exigir apenas uma certa porcentagem mínima dos dados gerados pela simulação inicial de monte carlo para os preços disponíveis em cada partição.
Próximo post será sobre a implementação dos dois motores de preços, então!
Quanto Forwards e Opções.
Quantos são melhor descritos através de um exemplo. Considere o índice Nikkei 225 Stock Average, que é, obviamente, medido em ienes. A quanto do índice Nikkei é uma nova entidade que definimos como sendo o valor do índice medido em dólares americanos. Mais detalhadamente, se o índice em um determinado dia tiver um valor de 00018000, esse número será tratado como $ 18000, em vez de Ґ18000. Na prática, esse número é freqüentemente multiplicado por uma constante, que é considerada como uma taxa de câmbio fixa.
Para avaliar um derivativo baseado em um quanto deve-se levar em consideração a taxa de câmbio. Portanto, existem duas fontes de risco e um modelo de dois fatores deve ser usado. Esta é a diferença básica entre os derivados sobre quantos e aqueles sobre subjacentes não-quanto, conforme descrito na seção seguinte.
Fórmulas & amp; Detalhes técnicos.
Nós damos uma breve e simples descrição sobre como valorizar os forwards e as opções. Uma detalhada e rigorosa derivação matemática pode ser encontrada no livro de Baxter e Rennie [1]. A avaliação de quanto forwards também é tratada em Hull [2].
Para maior clareza, usamos o índice de ações japonês, Nikkei 225 Stock Average, para descrever a avaliação de quanto para frente e opções. Definir:
: Índice Nikkei medido em ienes no momento.
: Taxa de câmbio: valor em dólares por unidade de iene.
: rendimento de dividendos no índice Nikkei.
: taxa de risco doméstico ($) livre de risco.
: taxa livre de risco do iene japonês.
Como no modelo de Black-Scholes, presume-se que eles sigam as distribuições log-normais e as taxas, e são assumidos como constantes durante a vida de um contrato a prazo ou uma opção no índice.
Quanto ao quanto, o índice Nikkei tem um preço medido em dólares americanos. A variável envolve duas fontes de risco: o risco associado ao índice e o risco associado à taxa de câmbio. Pode-se mostrar que isso não é negociável no mercado do dólar americano. Para avaliar os derivativos, é necessário construir uma medida de probabilidade “neutra ao risco” sob a qual tanto o risco da taxa de câmbio quanto o risco do subjacente são “neutros ao risco” (ou seja, ambos os processos estocásticos e são martingales com em relação a essa medida de probabilidade). Pode ser provado que tal medida existe e é única. Deixe denotar essa medida de probabilidade. Podemos, então, anotar o preço a prazo dos valores acima e os valores justos das opções européias de compra e venda e opções binárias como segue.
Seja o preço de entrega de um contrato a termo no índice Nikkei. Então pode ser mostrado que, eliminando oportunidades de arbitragem,
e são as volatilidades anualizadas do índice Nikkei e da taxa de câmbio, respectivamente, e.
é a correlação de log e log.
Opções de compra e venda de estilo europeu.
Seja o preço de exercício de uma opção de compra de estilo europeu no índice Nikkei. Então o valor justo de uma opção de compra no índice é dado por.
Opções binárias (digitais).
Uma opção binária tem, no vencimento, um pagamento de uma quantia fixa (ou do próprio ativo) ou nada, dependendo se o ativo subjacente está acima ou abaixo de um nível de greve.
1. Dinheiro ou nada.
onde está o pagamento em dinheiro no vencimento.
2. Dinheiro ou nada.
3. Chamada de recurso ou nada.
4. Ativo ou nada colocado.
Funções do FINCAD.
Quanto mais adiante.
aaQuanto_fwd (price_ufor, FX_fix, d_exp, d_v, vlt_u, vlt_FX, corr, rate_for, cost_hldg, stat):
Calcula o preço a termo e as estatísticas de risco de um ativo quanto.
Quanto Opções.
As seguintes funções retornam o valor justo e as estatísticas de risco para a versão quanto a diferentes tipos de opções (consulte os documentos correspondentes para diferentes tipos de opções para obter mais informações):
aaQuanto_Asian (price_ufor, ex_for, FX_fix, média, sam_freq, d_exp, d_v, d_aver, vlt_u, vlt_FX, corr, rate_for_ann, rate_dom_ann, cost_hldg, option_type, stat)
aaQuanto_asian_basket_fs_MC (asian_bskt_info, ex, curr_tbl, corr_matrix, d_v, d_exp, d_aver, sam_seq, option_type, num_rnd, table_type)
aaQuanto_asian_basket_MC (asian_bskt_info, ex, curr_tbl, corr_matrix, d_v, d_exp, d_aver, sam_freq, option_type, num_rnd, table_type)
aaQuanto_Barrier_am (price_ufor, ex_for, FX_fix, bar, d_v, d_exp, bar_type, desconto, vlt_u, vlt_FX, corr, rate_for_ann, rate_dom_ann, cost_hldg, option_type, optimize, stat)
aaQuanto_Barrier_dbl (d_v, d_exp, pre_for, ex_for, FX_fix, bar1, bar2, rebate_up, rebate_dn, vlt_u, vlt_FX, corr, rate_for_ann, rate_dom_ann, cost_hldg, opção_tipo, otimizar, opção_estilo, stat)
aaQuanto_Barrier_dbl_bin (d_v, d_exp, pre_for_forex, ex_for, FX_fix, bar1, bar2, rebate_exp, rebate_up, rebate_dn, vlt_u, vlt_FX, corr, rate_for_ann, rate_dom_ann, cost_hldg, option_type, optimize, stat)
aaQuanto_Barrier_eu (price_ufor, ex_for, FX_fix, bar, d_v, d_exp, bar_type, desconto, vlt_u, vlt_FX, corr, rate_for_ann, rate_dom_ann, cost_hldg, option_type, stat)
aaQuanto_basket_MC (bskt_info, ex, curr_tbl, corr_matrix, d_v, d_exp, option_type, num_rnd, table_type)
aaQuanto_Berm (price_ufor, ex_for, FX_fix, d_exp, d_v, d_berm_list, vlt_u, vlt_FX, corr, rate_for_ann, rate_dom_ann, cost_hldg, option_type, iter, stat)
aaQuanto_BIN2 (price_ufor, ex_for, FX_fix, d_exp, d_v, vlt_u, vlt_FX, corr, rate_for, rate_dom, cost_hldg, option_type, iter, stat)
aaQuanto_bin_cash (price_ufor, ex_for, d_exp, d_v, vlt_u, vlt_FX, corr, rate_for_ann, rate_dom_ann, div_yield, dinheiro, option_type, stat)
aaQuanto_bin_asset (price_ufor, strk_level, FX_fix, d_exp, d_v, vlt_u, vlt_FX, corr, rate_for_ann, rate_dom_ann, div_yield, option_type, stat)
aaQuanto_Binary_hit_asset (price_ufor, bar, FX_fix, d_v, d_exp, bar_type, paytime_type, vlt_u, vlt_FX, corr, rate_for_ann, rate_dom_ann, cost_hldg, stat)
aaQuanto_Binary_hit_cash (price_ufor, bar, FX_fix, d_v, d_exp, bar_type, dinheiro, paytime_type, vlt_u, vlt_FX, corr, rate_for_ann, rate_dom_ann, cost_hldg, stat)
aaQuanto_Binary_in_asset (price_ufor, ex_for, FX_fix, barra, d_v, d_exp, bar_type, vlt_u, vlt_FX, corr, rate_for_ann, rate_dom_ann, cost_hldg, option_type, stat)
aaQuanto_Binary_in_cash (price_ufor, ex_for, FX_fix, bar, d_v, d_exp, bar_type, dinheiro, vlt_u, vlt_FX, corr, rate_for_ann, rate_dom_ann, cost_hldg, option_type, stat)
aaQuanto_Binary_nohit_asset (price_ufor, bar, FX_fix, d_v, d_exp, bar_type, vlt_u, vlt_FX, corr, rate_for_ann, rate_dom_ann, cost_hldg, stat)
aaQuanto_Binary_nohit_cash (price_ufor, bar, FX_fix, d_v, d_exp, bar_type, dinheiro, vlt_u, vlt_FX, corr, rate_for_ann, rate_dom_ann, cost_hldg, stat)
aaQuanto_Binary_out_asset (price_ufor, ex_for, FX_fix, barra, d_v, d_exp, bar_type, vlt_u, vlt_FX, corr, rate_for_ann, rate_dom_ann, cost_hldg, option_type, stat)
aaQuanto_Binary_out_cash (price_ufor, ex_for, FX_fix, bar, d_v, d_exp, bar_type, dinheiro, vlt_u, vlt_FX, corr, rate_for_ann, rate_dom_ann, cost_hldg, option_type, stat)
aaQuanto_Chooser (d_v, d_exp_opt, preço_u, d_exp_call, ex_call, d_exp_put, ex_put, FX_fix, vlt_u, vlt_FX, corr, rate_for_ann, rate_dom_ann, cost_hldg, stat)
aaQuanto_Compound (d_v, d_exp_opt, option_type_c, ex_cmpd, d_exp_u, price_ufor, ex_u, FX_fix, option_type_u, vlt_u, vlt_FX, corr, rate_for_ann, rate_dom_ann, cost_hldg, stat)
aaQuanto_FS (d_v, d_issue, d_exp, price_ufor, ex_scaling, FX_fix, vlt_u, vlt_FX, corr, rate_for_ann, rate_dom_ann, cost_hldg, option_type, stat)
aaQuanto_fwd (price_ufor, FX_fix, d_exp, d_v, vlt_u, vlt_FX, corr, rate_for, cost_hldg, stat)
aaQuanto_Geo_Asian (price_ufor, ex_for, FX_fix, d_v, d_exp, d_aver, média, vlt_u, vlt_FX, corr, rate_for_ann, rate_dom_ann, cost_hldg, sam_freq, option_type, stat)
aaQuanto_Geo_Asian_fs (price_ufor, ex_for, FX_fix, d_v, d_exp, d_aver, média, vlt_u, vlt_FX, corr, rate_for_ann, rate_dom_ann, cost_hldg, sam_seq, option_type, stat)
aaQuanto_Geo_aver_strk (price_ufor, FX_fix, d_v, d_exp, d_aver, média, vlt_u, vlt_FX, corr, rate_for_ann, rate_dom_ann, cost_hldg, sam_freq, option_type, stat)
aaQuanto_Geo_aver_strk_fs (price_ufor, FX_fix, d_v, d_exp, d_aver, média, vlt_u, vlt_FX, corr, rate_for_ann, rate_dom_ann, cost_hldg, sam_seq, option_type, stat)
aaQuanto_Look (price_ufor, ex_for, FX_fix, d_v, d_exp, vlt_u, vlt_FX, corr, rate_for_ann, rate_dom_ann, cost_hldg, option_type, stat)
aaQuanto_opt (price_ufor, ex_for, FX_fix, d_exp, d_v, vlt_u, vlt_FX, corr, rate_for, rate_dom, cost_hldg, option_type, stat)
Funções de Localização de Raiz para Quantos.
Muitas dessas funções do FINCAD têm suas versões inversas (localização da raiz):
Essas funções “_ix” (onde x é qualquer parâmetro de entrada) encontram o valor de qualquer parâmetro de entrada para um dado valor de uma estatística de saída. Mais detalhes podem ser encontrados no documento Referência de Matemática do FINCAD.
Descrição das Entradas.
Uma constante positiva.
Data de expiração da opção.
A volatilidade anualizada do ativo subjacente (estrangeiro).
A volatilidade anualizada da taxa de câmbio.
A correlação entre o retorno do subjacente e o da taxa de câmbio. Veja detalhes na última seção.
Essas taxas são cotadas em uma base composta por lei anual / 365 (fixa). O parâmetro rate_dom é a taxa de juros doméstica livre de risco relevante, rate_for é a taxa livre de risco estrangeiro relevante e div_yield a taxa de pagamento de dividendos do ativo subjacente (estrangeiro).
Veja a descrição da saída nos exemplos abaixo.
Preço de exercício de uma opção.
O pagamento no vencimento de uma opção binária, se a opção estiver no dinheiro. Usado nas funções aaQuanto_bin_cash () e aaQuanto_bin_asset ().
O tipo de opção:
Descrição das Saídas.
O valor justo da opção.
delta de subjacente.
A taxa de mudança no valor justo de cada unidade por unidade muda no valor atual do ativo subjacente. Esta é a derivada do preço relativo a quanto ao valor atual subjacente.
Semelhante ao delta do subjacente, mas o derivativo é com relação à taxa de câmbio.
gama de subjacente.
A taxa de variação no valor de delta de subjacente por unidade muda no valor do ativo subjacente. Esta é a segunda derivada do preço quanto ao valor atual subjacente.
Semelhante ao gama de subjacente, mas a derivada é em relação à taxa de câmbio.
A taxa de mudança no valor justo do quanto por um dia diminui o tempo da opção. Este é o negativo da derivada do preço quanto ao tempo da opção (em anos), dividido por 365.
vega de subjacente.
A taxa de variação no valor justo da mudança de 1% na volatilidade do preço do ativo subjacente (estrangeiro). Este é o derivativo do preço relativo a essa volatilidade, dividido por 100.
Semelhante ao vega, mas o derivativo é com relação à volatilidade da taxa de câmbio.
rho de doméstico.
A taxa de variação no valor justo da mudança de 1% na taxa livre de risco da moeda nacional, rate_dom. Esta é a derivada do preço da opção com relação a rate_dom, dividido por 100.
Semelhante ao rho de doméstico, mas o derivado é com relação à taxa livre de risco doméstico, rate_for. Rendimento de dividendos, div_yield.
rho de dividendo.
Semelhante a rho de doméstico, mas a derivada é com respeito ao rendimento de dividendos, div_yield.
Para mais informações sobre entradas e saídas, consulte os documentos de Referência de Função correspondentes, acessíveis a partir do menu principal do FINCAD XL, Referências de Documentos / Funções. Para obter detalhes sobre o cálculo dos gregos, consulte o documento de Referência Matemática dos Instrumentos Gráficos das Opções sobre Instrumentos de Taxa Não Financeira.
Exemplos específicos de contexto são apresentados para quanto forwards e opções em índices e ações.
Exemplo 1: Quanto mais adiante em um índice de ações.
Considere um contrato a termo sobre o índice de ações Nikkei 225 medido em dólares americanos ($) multiplicado por 5. Suponha que o índice tenha um valor atual de 718700. Hoje é 1º de agosto de 1997. A data de entrega do contrato é 1º de fevereiro de 1998. Suponha que a taxa de pagamento de dividendos do índice seja de 1% (composto anual, real / 365 (fixo)) e a taxa de juros livre de risco relevante. taxa de juros no Japão é de 2% (composta anual, real / 365 (fixa)). Suponha que a volatilidade anual do índice Nikkei seja de 20% e que a taxa de câmbio, valor em dólares por unidade de iene ($ / Ґ), seja 0,10. Suponha ainda que a correlação entre o retorno do índice e o da taxa de câmbio seja 0,1. Use the function aaQuanto_fwd() to obtain the following results:
underlying price (foreign)
fixed FX rate, domestic currency per one unit of fixed foreign currency.
volatility of underlying.
volatility of foreign exchange rate.
rate – foreign – annual Actual/365.
holding cost – annual – Actual/365.
vega of underlying.
rho de taxa externa.
rho of dividend.
Example 2: Quanto call option on a stock.
Consider a call option on a British stock. The option has a payoff in US dollars with a fixed FX rate of 5 dollars per one pound. Suppose the stock has a spot price of 100 (Ј), the strike price is 90 (Ј). Today’s date is Aug. 1, 1997. The expiration date of the option is Feb. 1, 1998. Suppose the relevant sterling risk-free interest rate is 7% (annually compounded, Actual/365 (fixed)), that of the US dollars is 5% and the stock has a dividend payout rate of 3% (annually compounded, Actual/365 (fixed)). Suppose the annual volatility of the stock is 20% and that of the FX rate is 10%. Suppose the correlation between the return of the index and the return of the FX rate is 0.5. Use the function aaQuanto_opt() to obtain the following results:
underlying price (foreign)
exercise price (foreign)
fixed FX rate, domestic currency per one unit of fixed foreign currency.
volatility of underlying.
volatility of foreign exchange rate.
rate – foreign - annual – Actual/365.
rate – domestic – annual – Actual/365.
holding cost – annual – Actual/365.
delta of underlying.
gamma of underlying.
vega of underlying.
rho da taxa doméstica.
rho de taxa externa.
rho of dividend.
Example 3: Quanto binary option on an equity.
Suppose in example 2 the payoff of the option is cash or nothing: if the option at the expiration date is in the money, then the holder of the option gets a fixed amount of cash; if the stock value is out of the money, then the holder gets nothing. Suppose the cash amount is $20. Use the function aaQuanto_bin_cash to obtain the following results:
underlying price (foreign)
exercise price (foreign)
volatility of underlying.
volatility of foreign exchange rate.
rate – foreign - annual – Actual/365.
rate – domestic – annual – Actual/365.
delta of underlying.
gamma of underlying.
vega of underlying.
rho da taxa doméstica.
rho de taxa externa.
rho of dividend.
Referências.
[2] Hull , John, (1997), Options, Futures, and Other Derivatives, 3rd ed ., Upper Saddle River , Prentice Hall.
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